[2014년 정발고]

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[1학년 2학기 중간]

집합 [eqn: A= LEFT { `x`|`x는```6의```약수 RIGHT }]의 부분집합의 개수를 구하면? [3.8점]

②

① [eqn: 32]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2]

전체집합 [eqn: U= left{`x`|`x는```8```이하의```자연수 right}]의 세 부분집합
[eqn: A= left{2,```3,```4,```5right}], [eqn: B=left{`x`|`x는```8의```약수 right}], [eqn: C=left{`x`|x는```3의```배수 right]일 때, 옳지 않은 것은? [3.9점]

②

① [eqn: B^c =left{3,```5,```6,```7right]

② [eqn: A capB^c =left{2,```5 right]

③ [eqn: A-C=left{2,```4,```5 right]

④ [eqn: A^c cupB=left{1,```2,```4,```6,```7,```8right}]

⑤ [eqn: (A cupC)cap(B cupC)=left{2,```3,```4,```6right]

함수 [eqn: y=3x-1]의 역함수를 구하면? [4.0점]

①

① [eqn: y= { x+1} over {3 }]	② [eqn: y= {x-1} over {3}]	③ [eqn: y= { x} over { 3}-1]

④ [eqn: y=3x-1]	⑤ [eqn: y=3x+1]

다음 명제 중에서 역과 대우가 모두 참인 것은? [4.1점]

⑤

① [eqn: x>5]이면 [eqn: x>10]이다.

② 정사각형이면 평행사변형이다.

③ [eqn: a+b]가 정수이면 [eqn: ab]는 정수이다.

④ [eqn: ab!=6]이면 [eqn: a!=2] 또는 [eqn: b!=3]이다.

⑤ [eqn: |a|+|b|=0]이면 [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이다.

실수 [eqn: x]에 대하여 두 조건
[eqn: p:-2<x<3],   [eqn: q:x-a ge4```또는```x-a le-4]
에서 [eqn: p]가 [eqn: simq]이기 위한 충분조건일 때, 이를 만족하는 정수 [eqn: a]의 값의 합은? [4.2점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]이라 할 때,
[eqn: (P-Q)cup(Q-R^c )=emptyset]이 성립한다. 다음 중 항상 옳은 것은?
(단, [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]은 모두 공집합이 아니다.) [4.3점]

⑤

① 조건 [eqn: p]는 조건 [eqn: r]이기 위한 충분조건이다.

② 조건 [eqn: r]은 조건 [eqn: q]이기 위한 필요조건이다.

③ 조건 [eqn: p]는 조건 [eqn: q]이기 위한 필요조건이다.

④ 조건 [eqn: simr]은 조건 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다.

⑤ 조건 [eqn: p]는 조건 [eqn: simr]이기 위한 충분조건이다.

집합 [eqn: X=left{`x`|`0 le x le 4 right]일 때, 집합 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: 1 le x le 3]의 부분이 지워졌다. 다음 조기의 함수가 지워진 부분을 대신할 때, [eqn: y=f(x)]가 일대일함수가 되는 것과 일대일 대응이 되는 것을 모두 골라 바르게 짝지은 것은?  (단, 보기의 모든 함수는 정의역이 [eqn: left{`x`|`1 le x le 3 right]이다.) [4.7점]

일대일함수	일대일대응

③

ㄱ. [eqn: g_1 (x)=x+1]	ㄴ. [eqn: g_2 (x)= { 3} over {2 }]

ㄷ. [eqn: g_3 (x)=- { 1} over { 2}x+3]	ㄹ. [eqn: g_4 (x)=-x+4]

① ㄱ	ㄱ

② ㄷ, ㄹ	ㄷ

③ ㄷ, ㄹ	ㄹ

④ ㄴ, ㄷ, ㄹ	ㄷ, ㄹ

⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ	ㄱ, ㄷ, ㄹ

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형에서 서로 수직인 임의의 두 직선을 이용하여 그림과 같이 네 개의 직사각형으로 나눠 그 넓이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 할 때, [eqn: a>4]이면 [eqn: d<4]임을 증명하는 과정이다. 증명 과정에서 [eqn: 가+나+다+라]의 값은? [4.7점]

[eqn: b]	[eqn: a]
[eqn: d]	[eqn: c]

④

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여

[eqn: a+b+c+d=[``````````가``````````]] [eqn: cdotscdots] ㉠

넓이가 [eqn: a]인 직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x], 세로의 길이를 [eqn: y]라 하면

[eqn: a=xy], [eqn: b=(4-x)y],

[eqn: c=x(4-y)], [eqn: d=(4-x)(4-y)]

이므로

[eqn: ad=bc] [eqn: cdotscdots] ㉡

한편,

[eqn: a+b+c+d ge[`````나`````] sqrt { ad} +[`````나`````] sqrt { bc}] [eqn: cdotscdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의해 [eqn: [`````가`````] ge[`````다`````] sqrt { ad}]

[eqn: THEREFORE```ad le [`````라`````]]

따라서, [eqn: a>4]이면 [eqn: d<4]이다.

① [eqn: 26]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 42]

아래 그림은 함수 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]의 그래프이다. 함수
[eqn: f(x)]의 역함수가 존재할 때, [eqn: (f^-1 circf^-1 )(c)]의 값을 구하면? [4.5점]

⑤

① [eqn: a]	② [eqn: b]	③ [eqn: c]

④ [eqn: d]	⑤ [eqn: e]

함수 [eqn: f(x)= { ax+b} over { x+1}]의 그래프가 점 [eqn: (-2,```7)]을 지나고, 직선 [eqn: y=4]이 그래프의 점근선 중 하나이다. [eqn: f(c)=2]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]를 구하면? [4.4점]

④

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: y= sqrt { 2x+1}-2]에 대한 설명 중에서 옳지 않은 것은? [4.4점]

③

① 정의역이 [eqn: left{`x`left|`x ge - { 1} over {2 }right]이다.

② 치역은 [eqn: left{`y`|`y ge -2 right]이다.

③ 이 함수의 그래프는 제[eqn: 4]사분면을 지나지 않는다.

④ [eqn: 0 le x le 4]에서 이 함수의 최댓값은 [eqn: 1]이고, 최솟값은 [eqn: -1]이다.

⑤ 이 함수의 그래프를 평행이동하면 [eqn: y= sqrt { 2x}]의 그래프와

겹쳐진다.

[eqn: f`^1 (x)= { x-1} over {x }]이고, [eqn: f`^n+1 (x)=(f`^1 circ f`^n )(x)]로 정의할 때,
[eqn: f`^2014 (2)]의 값을 구하면? (단, [eqn: n]은 자연수) [4.6점]

③

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: y= { k} over {x-3 }+8]의 그래프는 제[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4]사분면을 지나고 함수 [eqn: y= { k } over {x+5 }-3]의 그래프는 모든 사분면을 지나도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? (단, [eqn: k!=0]) [4.5점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: y= sqrt { -2x+6}]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+k]가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 실수 [eqn: k]의 범위는? [4.6점]

⑤

① [eqn: -2 le k le 1]	② [eqn: -{ 1} over { 2}<k le 1]	③ [eqn: 0<k<2]

④ [eqn: { 5} over {2 }<k le 3]	⑤ [eqn: 3 le k < { 7} over { 2}]

다음 보기에서 옳은 것을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

①

ㄱ. 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =-4], [eqn: a_10 =23]일 때,

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_20 =530]

ㄴ. 서로 다른 네 수 [eqn: 2], [eqn: a], [eqn: 8], [eqn: b]은 이 순서대로

등차수열을 이룰 때, [eqn: a+b=16]이다.

ㄷ. 서로 다른 네 수 [eqn: 6], [eqn: a], [eqn: 54], [eqn: b]는 이 순서대로

등비수열을 이룰 때, [eqn: a+b=180]이다.

ㄹ. 수열 [eqn: 1over1], [eqn: 1over4], [eqn: 1over9], [eqn: 1over16], [eqn: 1over25], [eqn: cdots]에서 제[eqn: 8]항은

[eqn: 1over121]이다.

ㅁ. 수열 [eqn: left{a_n right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이

[eqn: S_n =-n^2 -2n]일 때, 이 수열 [eqn: left{a_n right]의 일반항은

[eqn: a_n =-2n-1]이다.

① ㄴ, ㅁ	② ㄱ, ㅁ	③ ㄴ, ㄷ, ㅁ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

올해 초에 [eqn: 2300]만 원짜리 자동차를 할부로 구입하고, 올해 말부터 매년 말에 일정한 금액으로 [eqn: 8]회에 걸쳐 모두 갚으려고 한다. 매년 갚아야 할 금액을 모두 고르면? (단, [eqn: 1.05^8 image 1.5], 연이율 [eqn: 5%], [eqn: 1]년마다 복리로 계산한다.) [4.8점]

④

① [eqn: 296]만 원	② [eqn: 320]만 원	③ [eqn: 330]만 원

④ [eqn: 345]만 원	⑤ [eqn: 395]만 원

서술형

정발고등학교 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 90]명이 방과후 수업 수학, 영어를 신청하려고 한다. 수학을 신청한 학생이 [eqn: 64]명, 영어를 신청한 학생이 [eqn: 39]명, 수학, 영어 어디에도 수업을 신청하지 않은 학생이 [eqn: 13]명이었다. [eqn: 1]학년 학생 전체의 집합을 [eqn: U], 수학을 신청한 학생의 집합을 [eqn: A], 영어를 신청한 학생의 집합을 [eqn: B]라 할 때, 집합의 연산기호를 사용하여 다음 물음에 답하시오. [총 10점]

(1) [eqn: 90], [eqn: 64], [eqn: 39]

(2) [eqn: 77]

(3) [eqn: 26]

(4) [eqn: 38]

(1) [eqn: n(U)], [eqn: n(A)], [eqn: n(B)]의 값을 각각 구하시오. [3.0점]

(2) 수학 또는 영어를 신청한 학생 수를 집합의 연산기호를

사용하여 구하는 과정과 답을 서술하시오. [2.0점]

(3) 수학, 영어 모두를 신청한 학생 수를 집합의 연산기호를

사용하여 구하는 과정과 답을 서술하시오. [2.0점]

(4) 수학만 신청한 학생 수를 집합의 연산기호를 사용하여

구하는 과정과 답을 서술하시오. [3.0점]

집합 [eqn: X= left{1,```2,```3,```4 right]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f:X->X]를 다음과 같이 정의한다.
[eqn: f(x)= cases{ x+1&```(x le 3) # 1& ```(x=4)}]
이 때, 함수 [eqn: g:X->X]에 대하여 [eqn: g(1)=3]이고 [eqn: f circg=g circf]가 성립할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 10점]

(1) [eqn: 4]

(2) [eqn: 4]

(3) [eqn: g(3)=1], [eqn: g(4)=2]

(1) [eqn: f(3)]의 값을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: g(2)]의 값을 구하는 과정과 답을 서술하시오. [3.0점]

(3) [eqn: g(3)]을 구하고 [eqn: g(3)]을 이용하여, [eqn: g(4)]의 값을 구하는

과정과 답을 서술하시오. [5.0점]

첫째항이 [eqn: a], 공비가 [eqn: r(r!=1)]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하고, [eqn: { S_2n} over { S_n} =4]일 때, 다음 물음에 답하시오. [총 10점]

(1) [eqn: { a(r^n -1)} over { r-1}]

(2) [eqn: 3]

(3) [eqn: 13]

(1) [eqn: S_n]을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: { S_2n} over {S_n }=4]를 이용하여 [eqn: r^n]의 값을 구하는 과정과 답을

서술하시오. [4.0점]

(3) [eqn: {S _{3n}} over {S _{n}}]의 값을 구하는 과정과 답을 서술하시오. [4.0점]

[2014년 정발고]

[1학년 2학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com